2024-04-15 朱希柚 精彩小资讯
相似三角形的斜双八字型
在两个相似三角形中，如果这两对相应边上的射线相交，那么在与这两对边平行的直线上，与这两个交点相邻的线段相等。
抽象地说，如果△ABC ~ △DEF，则
AB∥DE，AC∥DF
G、H 是射线 AB、DE 上的点
K、L 是射线 AC、DF 上的点
那么，GL = HK。
证明：
因为△ABC ~ △DEF，所以
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F
因此，△AGK ~ △DHK（AA相似）
所以，AG/DH = GK/HK
同理，△BGL ~ △EHL（AA相似）
所以，BG/EL = GL/HL
由于平行线的对应角相等，所以∠AGH = ∠DGH，∠BGL = ∠EHL
因此，△AGH ~ △DGH（AA相似），△BGL ~ △EHL（AA相似）
所以，AG/DH = GH/HD，BG/EL = GL/LE
令 x = GH/HD，y = GL/LE，则
AG/DH = GK/HK = x
BG/EL = GL/HL = y
所以，xAG = GK，yBG = GL
因此，
AG + BG = GK + GL
(x + y)AG = (x + y)GL
AG = GL
所以，GL = HK。
例题：
在△ABC 中，AB = 6cm，AC = 8cm，∠B = 45°。在△DEF 中，DE = 9cm，DF = 12cm，∠E = 45°。若△ABC ~ △DEF，且射线 AB 和 DE 相交于点 G，AC 和 DF 相交于点 H，求 GH 的长度。
解：
因为△ABC ~ △DEF，所以 GH = GL（相似三角形的斜双八字型）
△AGK ~ △DHK（AA相似）
所以，AG/DH = GK/HK
又因 AB = 6cm，DE = 9cm，所以 AG = 3cm，DH = 5cm
所以，GK/HK = 3/5
同理，△BGL ~ △EHL（AA相似）
所以，GL/HL = 3/5
因此，GL = 3HK/5
又因 GH = GL，所以
GH = 3HK/5
即 5GH = 3HK
2GH = HK
GH = HK/2
所以，GH = HK/2 = 6cm。
相似三角形八字模型证明
给定：三角形ABC和DEF，其中∠ABC ? ∠DEF，∠BCA ? ∠EDF
要证明：△ABC ~ △DEF
证明：
步骤 1：由于∠ABC ? ∠DEF，根据公共角性质，∠BAC ? ∠EDF。
步骤 2：同时，由于∠BCA ? ∠EDF，根据公共角性质，∠ACB ? ∠DFE。
步骤 3：现在，我们有两个三角形（△ABC和△DEF）具有三个分别相等的角：
∠ABC = ∠DEF
∠BAC = ∠EDF
∠BCA = ∠DFE
步骤 4：根据角度相等定理，两个三角形如果具有三个相等的角，那么它们是相似的。
因此，我们得出结论：
△ABC ~ △DEF
这证明了相似三角形八字模型，即两个三角形如果具有三个分别相等的角，那么它们是相似的。
如果两个三角形相似，则它们对应的边成正比，且面积比为对应高的平方之比。
对于相似三角形，若它们的对应高分别为 h1 和 h2，则有比例式：
a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = c1/c2 = h1/h2
其中：
a1、a2、a3 分别为两三角形对应边的长度
b1、b2、b3 分别为两三角形对应边的长度
c1、c2 分别为两三角形的第三边长度
h1、h2 分别为两三角形的对应高
此比例式称为“相似三角形八字形比例式”。
相似三角形八字形例题：
已知：
三角形 ABC 和 DEF
∠A = ∠D
∠C = ∠F
AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm
DE = 4 cm, EF = 5 cm, DF = 6 cm
证明：
三角形 ABC 和 DEF 相似。
证明：
1. 证明两对角相等：
∠A = ∠D（已知）
∠C = ∠F（已知）
2. 证明两边成正比：
AB / DE = 6 cm / 4 cm = 3 / 2
BC / EF = 8 cm / 5 cm = 8 / 5 = 3 / 2
AC / DF = 10 cm / 6 cm = 5 / 3 = 3 / 2
由于所有对应边都成正比，因此三角形 ABC 和 DEF 相似。
结论：
三角形 ABC 和 DEF 相似。
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