2024-05-07 马晏溪 精彩小资讯
对边相等，对角线相等
八字全等的判定定理
定义：
八字全等是指八字中所有干支都相同的情况。
判定定理：
八字全等的判定定理如下：
1. 年柱全等
甲子年、乙丑年、丙寅年...
2. 月柱全等
甲寅月、乙卯月、丙辰月...
3. 日柱全等
甲午日、乙未日、丙申日...
4. 时柱全等
甲子时、乙丑时、丙寅时...
如果以上四个条件全部满足，则八字全等。
注意：
只有当以上四个条件全部满足时，八字才算是全等。
如果只有其中三个条件满足，则称为八字半合。
如果只有其中两个条件满足，则称为八字小合。
八字形全等证明方法
步骤 1：证明对边相等
证明八字形两对对边相等。
步骤 2：证明对角线相交且互相垂直
证明八字形的对角线相交。
证明对角线互相垂直。
步骤 3：证明一个对角线平分另一个对角线
证明八字形的其中一条对角线平分另一条对角线。
定理：
如果一个八字形满足以上三个条件，那么它就是全等的。
证明：
设八字形为 PQRS，其中 PQ ∥ RS，PS ∥ QR。
步骤 1：
由于 PQ ∥ RS，∠PQR ≌ ∠QRS（对边角相等的定理）
由于 PS ∥ QR，∠PQS ≌ ∠QSR（对边角相等的定理）
因此，ΔPQR ≌ ΔQRS（AAS 全等）
故 PQ = RS
步骤 2：
由于 PQ ∥ RS，∠PQR + ∠QRS = 180°
由于 PS ∥ QR，∠PQS + ∠QSR = 180°
因此，∠PQR = ∠QSR
同理，∠PQS = ∠QPR
又因为 ΔPQR ≌ ΔQRS，所以 PR = QS
故八字形的对角线相交且互相垂直。
步骤 3：
由于 ΔPQR ≌ ΔQRS，所以 QR平分PS。
同理，PS平分QR。
故八字形的一个对角线平分另一个对角线。
八字形 PQRS 满足三个全等条件，因此 PQRS 全等。
题目类型： 八字形全等经典题型
基本原理：
以对角线为轴对称得到全等三角形。
利用全等三角形性质（三边全等，三角全等）。
典型题型：
类型 1：
给定四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。若 AB = AD，BC = CD，求证：AO = DO。
证明：
对角线 AC 和 BD 平分，可得 ΔAOB 和 ΔCOD 全等（SSS）。
∴ AO = DO。
类型 2：
给定四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。若 AB = DC，求证：∠ABC = ∠ACD。
证明：
对角线 AC 和 BD 平分，可得 ΔAOB 和 ΔDOC 全等（SS）。
∴ ∠ABC = ∠ACD。
类型 3：
给定四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。若 AO = DO，求证：AB = CD。
证明：
对角线 AC 和 BD 平分，可得 ΔAOB 和 ΔCOD 全等（SSS）。
∴ AB = CD。
类型 4：
给定四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。若 ΔAOB 全等 ΔDOC，求证：AD = BC。
证明：
ΔAOB 和 ΔDOC 全等，可得 AO = DO，BO = CO。
∵ 对角线 AC 和 BD 平分，∴ AD = BC。
类型 5：
给定四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O。若 ΔAOB 和 ΔCOD 相似，求证：AB / BC = AD / DC。
证明：
ΔAOB 和 ΔCOD 相似，可得 ∠AOB = ∠COD，∠ABO = ∠CDO。
∴ AB / AO = CD / CO。
∵ 对角线 AC 和 BD 平分，∴ AO = DO，CO = BO。
∴ AB / BC = AD / DC。
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